Normalerweise sollte es reibungslos funktionieren mit deinem Key.
Würde es sonst mal anders probieren:
1. Windows 7 (gleiche Version wie auf dem alten PC, auf dem Neuen installieren)
2. Mit dem Windows Lizenzkey diese Windows 7 Version (auf dem neuen PC) verifizieren
3. Von Windows 7 auf Windows 10 (auf dem neuen PC) upgraden
So sollte es keine Probleme dabei geben. Es ist nur wichtig, dass es sich bei dem installieren Windows 7 um die selbe Version handelt, wofür der Key auch vorgesehen ist (Home Premium, etc.).
Edit: Oder wie Eddy schon schrieb vielleicht mal ein Windows Update von Windows 10 durchführen und dann versuchen den Key einzugeben.