Logik

[NRj™]

Hat zwar nicht viel mit Coding zutun aber ich brauche mal eure Hilfe. Versuche seit 1 Stunde das zu verstehen. Aber wie kommt man auf das Ergebnis? Habe alle mir bekannten Regeln ausgeführt. Anstatt es zu vereinfachen wurde es nur größer oder es kam das gleiche raus wie die Angabe.

Außer das Distributivgesetz lässt sich da nichts anwenden?

[algernong]

Das ist gerade das Distributivgesetz: a V (b ^ c) = (a V b) ^ (a V c).

Edit: Das ist vielleicht verwirrend, weil es in Körpern nur das Distributivgesetz "a(b + c) = ab + ac" gibt. Für eine Boolesche Algebra wird aber zusätzlich noch die andere Form gefordert, "a + bc = (a + b)(a + c)".

[NRj™]

= [NichtA ^ (NichtA V B)] V [NichtB ^ (NichtA V B)]
= [LeereMenge V (NichtA ^ B)] V [(NichtB ^ NichtA) V Leeremenge]
= (NichtA ^ B) V (NichtB ^ NichtA)

... wenn ich so weiter mache, drehe ich mich nur im Kreis

[algernong]

(Wir reden schon über die Identität auf diesem Bildchen?!)

Du brauchst auch gar nichts zu rechnen, sofern ihr eine Boolesche Algebra nach Huntington eingeführt habt ist das bereits ein Axiom:

Ein Boolesche Algebra ist eine Menge ..., so dass für alle Elemente gilt: ...
* Distributivität: ... a V (b ^ c) = (a V b) ^ (a V c)

https://de.wikipedia.org/wiki/Booles...ach_Huntington

Setze a = nicht(A), b = nicht(B), c = B und du hast exakt das, was du oben stehen hast.

Du kannst die Regel nicht aus anderen Regeln folgern.

[Shadow992]

Originally Posted by NRj™

Hat zwar nicht viel mit Coding zutun aber ich brauche mal eure Hilfe. Versuche seit 1 Stunde das zu verstehen. Aber wie kommt man auf das Ergebnis? Habe alle mir bekannten Regeln ausgeführt. Anstatt es zu vereinfachen wurde es nur größer oder es kam das gleiche raus wie die Angabe.

Außer das Distributivgesetz lässt sich da nichts anwenden?

Distributivgesetz ist doch das Einzige was du brauchst?
Wenn du das Gesetz nicht verwenden darfst gibt es noch etliche andere Möglichkeiten:

1. Möglichkeit:
Ich werde jetzt Durchschnitt als UND (&), Vereinigung als ODER (|) und Gegenmenge schreiben als (!), es gilt zu beweisen:

(!a | !b) & (!a | b) <-> !a | (!b & b)

Dabei gibt es jetzt mehrere Möglichkeiten das zu beweisen.
Die einfachste ist wohl eine Wahrheitstafel aufzustellen:

 Spoiler

Jetzt siehst du, dass die Formel immer wahr ist (=Tautologie: https://de.wikipedia.org/wiki/Tautologie_(Logik) ).

2. Möglichkeit (informaler Beweis):

 Spoiler

((!a | !b) & (!a | b)) <-> (!a | (!b & b))

umschreiben zu (auflösen von <->):
(((!a | !b) & (!a | b)) | !(!a | (!b & b))) & (!((!a | !b) & (!a | b)) | !(!a | (!b & b)))

dann vereinfachen:

1. Gesetz der Negation und doppelte Negation:
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & (!((!a | !b) & (!a | b)) | !(!a | (!b & b)))

2. De Morgan und doppelte Negation:
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & (!((!a | !b) & (!a | b)) | (a & !(!b & b)))

3. De Morgan, doppelte Negation und Gesetz der Negation:
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & (!((!a | !b) & (!a | b)) | a)

4. De Morgan:
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & (!(!a | !b) | !(!a | b) | a)

5. De Morgan, Gesetz der Negation, De Morgan, Gesetz der Negation:
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & ((a & b) | !a | !b | a)

6. Gesetz der Negation
(((!a | !b) & (!a | b)) | a) & ((a & b) | !b | 1)

7. Neutralität:
((!a | !b) & (!a | b)) | a

Ab jetzt kommt man ohne Distributivgesetz nicht mehr weiter.
Wenn man formal nicht ganz korrekt weitermachen will, könnte man jetzt argumentieren:
"Bei (!a | !b) & (!a | b) ist es offensichtlich, dass es egal ist was b für einen Wert hat, nur !a ist wichtig".
Daraus würde dann folgen: !a | a
Und daraus folgt mit dem Gesetz der Negation: wahr

3. Möglichkeit "Natürliches Schließen":
Es gilt zu beweisen, dass aus ((!a | !b) & (!a | b)) das hier (!a | (!b & b)) folgt und andersrum.
Das heißt (ich hoffe ich mach keine Fehler, hab das das letzte mal intensiv vor 2 Jahren angewendet):

 Spoiler

((!a | !b) & (!a | b)) <-> (!a | (!b & b))

Annahme: ((!a | !b) & (!a | b)) -> (!a | (!b & b))
Annahme: ((!a | !b) & (!a | b)) <- (!a | (!b & b))
Annahme: ((!a | !b) & (!a | b))
Annahme: (!a | (!b & b))
- Annahme: (!a | !b)
- Annahme: (!a | b)
-- Annahme: !a
--- ((!a | !b) & (!a | b))
-- Annahme: !b
--- ((!a | !b) & (!a | b))
-- ((!a | !b) & (!a | b))
- Annahme: !a
-- (!a | (!b & b))
- Annahme: (!b & b)
-- Annahme: !b
--- (!a | (!b & b))
((!a | !b) & (!a | b)) <-> (!a | (!b & b))

Und damit ist ((!a | !b) & (!a | b)) <-> (!a | (!b & b)) bewiesen.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/System...chlie%C3%9Fens