Vektoren

[Miratro]

Guten Abend liebe Mathematiker unter euch,

da ich morgen eine Matheklausur über Vektoren nachschreibe (!) und natürlich heute erst anfange zu lernen benötige ich eure Hilfe. Laut eines Klassenkameraden kommt eine Aufgabe dran in welcher wir rechnerisch bestimmen müssen, ob es sich bei den gegebenen Vektoren um ein Trapez, ein Parallelogramm oder keins von beidem handelt. Wir hatten auf Übungsblättern eine Aufgabe hierzu, welche ich allerdings nicht verstanden habe. Daher frage ich euch hier:

Ein Trapez ABCD ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind. Bei einem Parallelogramm sind jeweils einander gegenüberliegende Seiten parallel. Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A, B, C und D ein Trapez oder sogar ein Parallelogramm bilden.

A(2|1|3), B(4|5|-1), C(3|3|0), D(1|-1|4)

Berechnen sollen wir nun AB, BC, CD und DA was ich auch getan habe:
AB 2/4/-4
BC -1/-2/-1
CD -2/-4/4
DA 1/2/-1

Gegenüberliegende Seiten sind in diesem Fall ja AB & CD und BC & DA.
AB und CD sind parallel soweit ich das erkennen kann.
BC und DA sind nicht parallel, weil x³ bei beiden -1 ist.

Bedeutet das nun, dass es ein Trapez ist? In der Aufgabenstellung steht Trapez = zwei Seiten zueinander Parallel (in diesem Fall AB und CD).

Danke schön

[Seskahin]

Ein Parallelogramn hat zwei ( sich gegenüberleigende ) Vektoren welche parallel sind.
Ein Trapez nur eins, wobei sich die anderen Seiten dann irgendwann schneiden wenn man die Richtungsvekoren gegen unendliuch laufen lässt.

[Miratro]

Was wäre das oben genannte Beispiel denn in diesem Fall? Ein Trapez, wie ich annehme?

€: Pardon, ich habe einen Rechenfehler gemacht:
B(4|5|-1), C(3|3|0)

BC ergibt dann -1/-2/1

Es ist also ein Parallelogramm, die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander. Sind ja nur die Gegenvektoren. Oder?

[Twist']

Für ein Quadrat gilt aufjedenfall Skalarprodukt = 0 der Vektoren
Für ein Trapez gilt Skalarprodukt !=0 & Vektor AB || Vektor DC Beim Parallelogramm sind die anderen Vektoren ebenfalls Parallel

[Bananenwerfer]

Ersteinmal hast du deine Vektoren falsch berechnet.

Bei deiner Aufgabenstellung handelt es sich ganz klar um ein Parallelogramm, da wenn man sich die Vektoren mal genauer anschaut auffällt, dass jeweils 2 ein Vielfaches von einem anderen Vektor sind.

AB = ( 2 / 4 / -4)
BC = (-1 /-2 /1)
CD = (-2 /-4 / 4)
DA = ( 1 / 2 / -1)

AB = -CD
DA = -BC

Beweisen tust du dies nun indem du zu allererst zeigst das alle 4 Punkte und somit das Parallelogramm in einer Ebene liegen. Das machst du indem du den Normalenvektor bestimmst und dann mit zwei Spannvektoren die Ebene aufziehst. Nun setzt du einmal alle Punkte in die Ebenengleichung ein und solltest auf das Ergebnis kommen das jeder der gegebenen Punkte in einer Ebene liegen.
Nun, da wir wissen das alle 4 Punkte und somit auch alle Vektoren in der gleichen Ebene liegen können wir ganz einfach beweisen das es sich um ein Parallelogramm handelt indem du versuchst die jeweils gegebnüberliegenden Vektoren sich schneiden zu lassen. Da du auf kein Ergebnis kommen wirst bedeutes das im Umkehrschluss das es sich um ein Paralellogramm handeln muss.

Hier nochmal ein Bild dazu:

 Spoiler