Ich nehme an, du sollst auf Assoziativität prüfen? Nicht so schwer.
Wenn eine Wertetabelle/Wertetafel/Wahrheitstabelle gefragt ist, musst du immer alle möglichen Fälle betrachten. Bei boolscher Algebra sind nur zwei Werte gültig (0 bzw. falsch und 1 bzw. wahr), ergo ist jede Variable immer Element der Menge {0, 1} (zB. Z ∈ {0,1}). Mit n als Anzahl der Variablen gilt also obendrein, dass es genau 2^n Fälle gibt. Deine Tabelle muss also 2^n Zeilen haben.
Um auch keinen davon zu vergessen, lohnt es sich in der Regel allen Variablen initial den Wert 0 zu geben, sie zusammen als eine Binärzahl zu lesen und einfach hochzuzählen. Also für 3 Variablen zB:
| x | y | z |
|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Danach schaust du dir den Ausdruck an und zerlegst ihn in individuell lösbare Teilausdrücke. Klammerung kann dir hierbei helfen. Es lohnt sich den kompletten Ausdruck in den Tabellenkopf und alle berechneten Werte direkt unter den jeweiligen Operator zu schreiben.
Im Beispiel werten wir erst auf der linken Seite (X OR Y) aus und anschließend (X AND Y) auf der rechten Seite. Die Ergebnisse sind in der unteren Tabelle nicht besonders markiert.
Da keine weiteren Teilausdrücke mehr unabhängig vom Rest lösbar sind, müssen wir nun die vom vorherigen Teilausdruck abhängigen Ausdrücke lösen. Das sind in diesem Fall die beiden Seiten der Gleichung.
Als nächstes müssen wir also links ((X OR Y) AND X), sowie rechts ((X AND Y) OR X) auswerten. Da wir das Ergebnis von (X OR Y) bzw (X AND Y) bereits kennen, können wir diesen Teilausdruck mit dem jeweiligen Ergebnis substituieren.
Jetzt nur noch mit X vergleichen und jede Seite ist gelöst. Die Ergebnisse dieses Schrittes sind unten unterstrichen.
Letztendlich musst du noch prüfen, ob die Gleichheit gegeben ist - also ob das Ergebnis der linken Seite dem der rechten Seite übereinstimmt. Das schreibst du am besten unter das Gleichheitszeichen und markierst die Ergebnisse.
Die Ergebnisse der linken und rechten Seite haben wir im vorherigen Schritt ermittelt, wir müssen sie also nur noch vergleichen. Die Ergebnisse des Vergleichs sind fett markiert - das ist unser Endergebnis.
| X | Y | | ((X OR Y) | AND X) | = | ((X AND Y) | OR X) |
|---|
| 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Jetzt ist schonmal die Wahrheitstabelle fertig. Um nun zu zeigen, dass ((X OR Y) AND X) = ((X AND Y) OR X) gilt, müssen wir uns nochmals die fett gedruckten Ergebnisse ansehen.
Schnell sollte auffallen, dass alle wahr sind. Ein Ausdruck, der immer wahr ist, heißt Tautologie.
((X OR Y) AND X) = ((X AND Y) OR X) gilt also für alle X, Y ∈ {0,1}
qed
