Was bedeutet Ableitung eigentlich?

In Mathe bearbeiten wird grade das Thema Ableitung und wie immer sagen die Lehrer nicht was das eigentlich bedeutet und wieso wir es machen...

Mein Theorie:
Durch die Ableitung (zb. H-Methode) kann man die Steigung einer Sekanten/Tangenten berechen und hat dann die Durchschnitt. oder Momentane Änderung (Steigung)

Stimmt das,kann man auch mehr damit machen?

Die Steigung einer Sekante kannst du ohne Ableitung berechnen: Die Steigung einer Sekante durch die Punkte f(x1) und f(x2) ist (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).

Eine Tangente ist eine Sekante, deren zwei Punkte "ganz nahe" beieinander liegen; wenn du die Steigung einer Tangente am Punkt x willst, musst du also (f(x') - f(x))/(x' - x) rechnen, wobei x' ein Punkt "ganz nah" bei x ist.
Fuer das "ganz nah" bildet man den Grenzwert von dem Term fuer x' -> x und spricht schon von einer Ableitung in dem Punkt.

Also genau: Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung der Tangente an jedem Punkt der Funktion.

Das ist zusammen mit Integrieren ein super wichtiges Werkzeug. Wenn du in Physik zum Beispiel eine Funktion x(t) gegeben hast, die dir zu jedem Zeitpunkt eine Position angibt, kannst du durch Ableiten die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt berechnen (die momentane Aenderung der Position ist die Geschwindigkeit); also x'(t) = v(t). Nochmal ableiten gibt dir die Beschleunigung, also x''(t) = v'(t) = a(t).

Mit Ableitungen kannst du dir ganz viele Informationen aus einer Funktion rausholen. So wie sich das anhört, habt ihr gerade erst damit angefangen.

Durch Ableitungen (auch mehrfache Ableitung hintereinander, sprich: 1. Ableitung, 2. Ableitung etc.) kannst du z.B. herausfinden ob die Funktion dort eine Extremstelle hat (Minimum, Maximum, Sattelpunkt), ob sie dort links- oder rechtsseitig ist, wo die Nullstellen der Funktion sind.
Später kann man mit partiellen Ableitungen Gradienten bilden oder eine Hesse-Matrix um auf Rotation zu überprüfen oder eine Taylor-Reihe zu entwickeln.

Man nutzt es also schon recht häufig.

Oder wolltest du jetzt eine Definition im Mathematiker-Sprech?

Quote:

Originally Posted by algernong Die Steigung einer Sekante kannst du ohne Ableitung berechnen: Die Steigung einer Sekante durch die Punkte f(x1) und f(x2) ist (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1). Ich weiß... Eine Tangente ist eine Sekante, deren zwei Punkte "ganz nahe" beieinander liegen; wenn du die Steigung einer Tangente am Punkt x willst, musst du also (f(x') - f(x))/(x' - x) rechnen, wobei x' ein Punkt "ganz nah" bei x ist. Ich weiß Fuer das "ganz nah" bildet man den Grenzwert von dem Term fuer x' -> x und spricht schon von einer Ableitung in dem Punkt. Also genau: Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung der Tangente an jedem Punkt der Funktion.

Sicher,dass es die Steigung an jedem Punkt ist?
Du meinst bestimmt, dass es bei der Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate (Steigung) an jedem Punkt die gleiche Steigung ist aber beim berechen der Momentanen Änderungsrate kann es doch nicht so sein...

Quote:

Originally Posted by LeKoArts Mit Ableitungen kannst du dir ganz viele Informationen aus einer Funktion rausholen. So wie sich das anhört, habt ihr gerade erst damit angefangen. Durch Ableitungen (auch mehrfache Ableitung hintereinander, sprich: 1. Ableitung, 2. Ableitung etc.) kannst du z.B. herausfinden ob die Funktion dort eine Extremstelle hat (Minimum, Maximum, Sattelpunkt), ob sie dort links- oder rechtsseitig ist, wo die Nullstellen der Funktion sind. Später kann man mit partiellen Ableitungen Gradienten bilden oder eine Hesse-Matrix um auf Rotation zu überprüfen oder eine Taylor-Reihe zu entwickeln. Man nutzt es also schon recht häufig. Oder wolltest du jetzt eine Definition im Mathematiker-Sprech?

Ja wollte ich.
Also ich muss ein Referat zur H-methode machen und wie man die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet.
Ich wollte am Anfang erstmal den Begriff Ableitung erklären.
Hast du eine Definition für mich bitte? (für alle verständlich)

Quote:

Originally Posted by Gandi47 Sicher,dass es die Steigung an jedem Punkt ist? Du meinst bestimmt, dass es bei der Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate (Steigung) an jedem Punkt die gleiche Steigung ist aber beim berechen der Momentanen Änderungsrate kann es doch nicht so sein...

Ich meine, dass f'(x) := lim_(t -> 0) (f(x + t) - f(x))/t die Steigung von f an der Stelle x ist, fuer jedes x im Definitionsbereich.

Quote:

Originally Posted by Gandi47 Ja wollte ich. Also ich muss ein Referat zur H-methode machen und wie man die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet. Ich wollte am Anfang erstmal den Begriff Ableitung erklären. Hast du eine Definition für mich bitte? (für alle verständlich)

Das Grundprinzip hat dir algernong schon erklärt, die H-Methode macht nichts anderes (wenn ich mich recht erinnere).
https://de.wikipedia.org/wiki/Differ...inf.C3.BChrung

Und ja, die Ableitung gibt die Steigung in jedem Punkt an.

Quote:

Ja wollte ich. Also ich muss ein Referat zur H-methode machen und wie man die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnet. Ich wollte am Anfang erstmal den Begriff Ableitung erklären. Hast du eine Definition für mich bitte? (für alle verständlich)

Ich weis jetzt nicht in welcher Klasse du dieses Referat halten musst. aber da es wohl die 9. oder 10. Klasse sein sollte müsste eine einfache "Definition" reichen:
z.B. ganz anschaulich
Die Ableitung f'(x) der Funktion f(x) beschreibt die Steigung in jedem definitierten Punkt der Funktion f(x). So hat die Ableitung einer Funktion mit Extrema an den Extrempunkten die Steigung 0.
Beispiel hierfür:

f(x)= x^2
f'(x)=2x

Notwendige Bedingung für Extremspunkt:
f'(x)=!0
2x=0
x=0

Und wie jeder wissen sollte hat eine Parabel (x^2) bei x=0 einen Tiefpunkt.

Das sollte wohl das einfachste Beispiel für eine ableitung sein.